R0 e matematica delle epidemie a supporto di strategie governative

Maggiore è R0, maggiore è il nr di contagi (omino VIOLA) per ciascun infettivo (omino GIALLO)

La quarantena forzata che ognuno di noi sta vivendo in questo periodo di emergenza Coronavirus sta largamente favorendo la fruizione della rete e la presenza sui social dove, tra l’altro, siamo inondati di statistiche, grafici e previsioni sull’andamento dell’epidemia. Questo mondo di numeri, se ben interpretato, può aiutarci a capire la correlazione tra lo stato di avanzamento dei contagi e la necessità di intraprendere azioni, comportamenti e strategie – anche dolorose – per far finire tutto questo con il danno minore possibile. L’interpretazione di questi numeri passa, ovviamente, attraverso la matematica e nello specifico quella che viene ormai individuata come “matematica delle epidemie”, disciplina che fa innanzitutto riferimento alla possibilità di usare gli strumenti matematici per creare dei modelli in grado di descrivere in modo quantitativo la diffusione dei contagi all’interno di una data popolazione. In rete si trovano trattazioni esaustive sul tema, con approfondite descrizioni matematiche ad opera di illustri autori che fanno dello studio dei modelli la loro professione. Vorrei utilizzare lo spazio di questo breve articolo per entrare nell’essenza di questi modelli e del significato di R0 e aiutare a comprenderne l’utilità nel processo decisionale di deliberare le norme che ci obbligano oggi a modificare i nostri comportamenti.

Il modello SIR

Un modello per lo studio della diffusione di un’epidemia in una popolazione, che oggi viene largamente utilizzato e che costituisce poi la base di ragionamento per sistemi più complessi, è il cosiddetto modello SIR, elaborato dagli scozzesi Kermack e McKendrick a partire dal 1927. Il modello parte dalla semplice idea di base di suddividere la popolazione costituita da un numero N di individui in tre gruppi:

•          I suscettibili (indicati con S), cioè individui sani che potrebbero contrarre la malattia;
•           Gli infettivi (indicati con I), che hanno contratto l’infezione e che sono quindi veicolo della malattia;
•          I rimossi (“recovered” nel testo originale – indicati con R) che sono complessivamente i guariti, i deceduti e quelli messi in isolamento, che non possono quindi infettare un individuo suscettibile.

Si pongono alcune ipotesi semplificative (come spesso accade nei modelli matematici, si parte da situazioni semplificate per addivenire ad un primo risultato e applicare successivamente, per gradi, la rimozione delle semplificazioni), e precisamente:

1. durante l’epidemia la popolazione non si riproduce, cioè non vi sono nuove nascite;
2. durante l’epidemia la causa principale di morte è la malattia epidemica stessa;
3. la popolazione è isolata, cioè non vi sono entrate o uscite rispetto all’esterno;
4. la malattia non ha un periodo di incubazione;
5. dopo la guarigione si acquisisce immediatamente l’immunità;
6. tutti gli individui infetti sono ugualmente contagiosi, indipendentemente dal tempo trascorso dal contagio

Alcune di queste ipotesi sembrano molto restrittive (soprattutto la c), considerati gli ingenti movimenti di persone, sia sul piano nazionale che su quello internazionale, e la d), in quanto per il COVID-19 il periodo di incubazione può durare fino a 14 giorni; inoltre la e) non è dimostrata); ad ogni modo  è possibile ottenere una descrizione in termini matematici dell’andamento nel tempo delle tre classi di individui che sia attendibile rispetto a quanto si osserva fisicamente nella realtà. Per comprenderla, accenneremo brevemente alla costruzione del modello.

Si suppone che i suscettibili in un certo istante, S(t) entrino in contatto con gli infettivi I(t) in modo del tutto casuale e che la riduzione dei suscettibili (e quindi del loro passaggio a infettivi) sia proporzionale al prodotto S(t)*I(t) secondo un coefficiente di proporzionalità β.

La variazione degli infettivi sarà invece data dall’ incremento dovuto al passaggio da suscettibili e infettivi secondo quanto detto sopra, a cui andranno sottratti quelli che sono guariti, deceduti o sono stati messi in isolamento. In uno schema a blocchi:

Il numero R(t) dei rimossi si suppone proporzionale al numero di infettivi S(t) secondo il coefficiente γ.

La traduzione in termini matematici delle variazioni delle grandezze sopra descritte porta alla stesura di un sistema di tre equazioni differenziali, che in questa trattazione soprassediamo.

La risoluzione di queste equazioni permette di evidenziare che i possibili sviluppi dell’epidemia sono regolati dal rapporto

γ/β fra il tasso di rimozione e il tasso di contagio. Innanzitutto si rileva che esiste un numero di suscettibili S_T  che agisce da spartiacque fra l’esplosione o meno dell’epidemia. Questo valore è pari esattamente al rapporto suddetto ed è chiamato rapporto di soglia:

S_T = γ/β

e sta ad indicare che se il numero S iniziale di suscettibili è minore del valore S_T allora l’epidemia non si sviluppa e il numero degli infettivi diminuisce fino ad annullarsi. Se invece il numero iniziale di suscettibili S è maggiore di S_T il numero iniziale di infettivi cresce, raggiungerà un massimo e poi l’epidemia comincerà ad attenuarsi fino all’ estinzione. A discapito, ovviamente, della popolazione dei suscettibili S, che si sarà ridimensionata. Per una migliore interpretazione del ruolo giocato dai due parametri γ e β è conveniente introdurre il parametro R₀, del quale si è ampiamente parlato anche in trasmissioni televisive. Avendo indicato con il N il numero di individui all’inizio dell’epidemia (un attimo prima di rilevare la presenza di infettivi), si indica con R₀ il numero:

R₀ = N*β/γ

Questo numero assume il significato di “tasso netto di riproduzione” di un’infezione e indica il numero medio di persone che ciascun individuo infetto può contagiare durante il periodo in cui è infettivo, nell’ipotesi che tutta la popolazione sia ancora suscettibile.

Per le stesse considerazioni fatte in relazione all’effetto soglia, risulta che:

se R₀ > 1 l’epidemia si scatena

se R₀ < 1 l’epidemia regredisce e si estingue senza diffusione.

Nei due casi, lo sviluppo nel tempo del numero degli infettivi assume, qualitativamente l’andamento illustrato nel grafico:

I due parametri β e γ dipendono sia dalla natura del virus che provoca l’epidemia, sia dai comportamenti della popolazione

Nel caso del Coronavirus, secondo stime dell’OMS sui primi dati disponibili dello sviluppo dell’epidemia in Cina, R₀ può avere valori variabili da 1,4 a 2,5. Sembra poco, ma gli sforzi da compier per ridurre il parametro e ricondurre la dinamica degli infettivi a seguire la curva inferiore del grafico anziché quella superiore sono notevoli.

Poiché R₀ dipende da γ e β, oltre che dal numero di individui inizialmente suscettibili (N), è ovvio chiedersi come si possa intervenire per modificare i parametri. Le strategie possibili sono:

1. diminuire N, cioè la popolazione potenzialmente suscettibile all’istante 0, quello in cui comincia a svilupparsi l’epidemia. Questo si può ottenere con l’introduzione di un vaccino, che toglierebbe appunto possibilità al virus di contagiare persone. Questa strada, a detta degli scienziati, purtroppo è ancora lunga (stime 12-18 mesi) nonostante ci sia un intenso sforzo di ricerca a livello globale, con cooperazione fra i Paesi;
2. aumentare γ, cioè aumentare il tasso di rimozione degli infettivi. Questo può essere ottenuto con
   1. terapie più efficaci, che possano migliorare la guarigione. Queste sono in continua evoluzione e ci si augura che giungano in tal senso risultati importanti;
   2. miglioramento della capacità di individuazione degli infettivi e loro istantaneo isolamento. In questo modo vengono sottratti individui al gruppo degli infettivi che possono entrare in contatto con i suscettibili. Questo è uno degli interventi adottati nel modello Corea del Sud, dove sono stati largamente incentivati i tamponi ed i metodi – anche con le moderne tecnologie informatiche – per individuare anche gli infettivi asintomatici;
3. diminuire β, cioè ridurre le occasioni di contagio attraverso diverse strategie:

• migliorare l’educazione igienico-sanitaria, in modo da esporre le singole persone ad una probabilità ridotta di entrare in contatto con il virus;
• ridurre al massimo la possibilità di incontro fra le persone, limitando quindi la possibilità che un infettivo possa contagiare un suscettibile;
• utilizzare dispositivi di protezione individuale (mascherine) che fungano da barriera al diffondersi del virus attraverso le vie aeree (da parte degli individui infettivi) e alla possibilità di assorbimento da parte di suscettibili sani.

Si coglie quindi l’utilità degli interventi che stanno adottando gli organi governativi per tentare di ridurre la trasmissione e diffusione del virus

Allo stato attuale il valore di R₀ stimato su base nazionale è di circa 1,20 (dato al 09/04/2020), come si può vedere dal grafico qui riportato (fonte: https://covstat.it/). Purtroppo è ancora alto.

Questo testimonia che siamo ancora in una fase di crescita dell’epidemia, anche se il tasso dei contagi giornalieri è inferiore rispetto all’inizio. Se consideriamo gli sforzi che stiamo facendo per trovarci comunque ancora in presenza di un parametro che indica la diffusione e non la contrazione del virus, si comprende come sia necessario non abbassare la guardia e prevedere strategie ulteriori. La strada da percorrere è ancora lunga.

In questo, emerge che i modelli matematici rappresentano un utile strumento a disposizione di chi governa come supporto nel processo decisionale di adottare strategie di lotta all’epidemia. L’utilizzo principale non riguarda quello di stimare in modo assoluto i valori delle varie grandezze in gioco, comunque affetti da margini di errore (numero di contagiati, di rimossi, ovvero valore dei parametri γ, β, R₀), quanto quello di poter mettere a confronto scenari diversi e valutarne le prestazioni in termini di contenimento della diffusione dell’epidemia. I politici che devono prendere le decisioni in questo contesto di emergenza devono tenere in considerazione diversi aspetti, tra i quali ve ne sono alcuni che presentano anche interessi conflittuali come:

• la tutela della salute
• la necessità di garantire i beni primari per la popolazione
• la necessità di mantenere un equilibrio sociale
• la necessità di mantenere in piedi l’economia

Le strategie possibili volte a modificare i comportamenti (come quelle già intraprese chiusura delle scuole, delle aziende, divieti di assembramenti, obbligo di rimanere a casa, obbligo di usare le mascherine, e quelle che saranno necessarie verso la graduale ripresa della vita ed attività quotidiane) dovranno essere individuate con il supporto della comunità scientifica, del punto di vista degli economisti e delle varie parti interessate in causa. La loro incisività, l’entità della popolazione su cui agiranno, potranno consentire in ultima analisi in maniera più o meno significativa la riduzione di R₀, e quindi anche la possibilità di successo all’ uscita da questo stato di emergenza. La stima dei risultati attesi, ottenibile con i modelli matematici, è un ulteriore supporto al politico che, guidato dai principi costituzionali e valutati gli interessi in gioco per il Paese nel suo complesso, dovrà decidere la deliberazione di provvedimenti, anche draconiani, che consentano di rendere efficaci le strategie individuate.

Ing. Pierosvaldo Savi – HSE Manager Nord Pas

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Primo piano

ISS, 5 febbraio 2020

Un parametro importante in un’epidemia di una malattia infettiva è il cosiddetto R0 ovvero il “numero di riproduzione di base” che rappresenta il numero medio di infezioni secondarie prodotte da ciascun individuo infetto in una popolazione completamente suscettibile cioè mai venuta a contatto con il nuovo patogeno emergente. Questo parametro misura la potenziale trasmissibilità di una malattia infettiva.

In altre parole se l’R0 di una malattia infettiva è circa 2, significa che in media un singolo malato infetterà due persone. Quanto maggiore è il valore di R0 e tanto più elevato è il rischio di diffusione dell’epidemia. Se invece il valore di R0 fosse inferiore ad 1 ciò significa che l’epidemia può essere contenuta.
Da quando l’epidemia del nuovo coronavirus (2019-nCoV) emerso in Cina ha cominciato a diffondersi e sono iniziati a circolare i dati sui primi casi confermati, l’Organizzazione Mondiale della Sanità (OMS) e numerosi istituti di ricerca di tutto il mondo hanno diffuso stime di R0 dell’infezione. Queste stime sono comprese tra 1,4 e 3,8 nelle aree colpite in questa prima fase di diffusione.
Perché R0 è così importante? R0 è funzione della probabilità di trasmissione per singolo contatto tra una persona infetta ed una suscettibile, del numero dei contatti della persona infetta e della durata dell’infettività questo ci dice che riducendo almeno uno dei tre parametri possiamo ridurre tale valore e quindi poter controllare, o almeno ritardare, la diffusione del patogeno ad altre persone. La probabilità di trasmissione e la durata dell’infettività (senza un vaccino o un trattamento che riduca la viremia) non sono in questa fase modificabili ma, l’immediata diagnosi/identificazione della persona infetta, o di quella potenzialmente infettata, e la possibilità di ridurre i suoi contatti con altre persone permetterebbe una riduzione del’R0
In particolare, come sta avvenendo in Cina, anche le misure di allontanamento sociale (ad es. la sospensione di aggregazioni pubbliche e del trasporto) e la riduzione della trasmissione per contatto (ad es. mediante l’uso di misure di protezione personale da parte degli operatori sanitari) comporterebbero riduzioni del numero di riproduzione di base.

Per approfondire consulta la nostra pagina di Epicentro dedicata al coronavirus

Il numero di cui parlano tutti

A che cosa serve il numero di riproduzione di base – “erre con zero” – e perché è così citato da settimane

Nei prossimi mesi per i governi di mezzo mondo ci sarà un numero che conterà più degli altri per provare a contenere la pandemia: R₀, il “numero di riproduzione di base”. Se sarà superiore a 1 non sarà un buon segno, e potrà determinare nuove restrizioni; se si manterrà al di sotto di quel valore sarà invece un indizio valido per proseguire ad allentare le limitazioni, seppure con le dovute cautele. Considerato che ne sentiremo parlare sempre più spesso, può essere utile capire qualcosa di più su questo numero.

Da dove arriva R₀
L’origine di R₀ (si legge “erre con zero”) deriva dalla demografia, cioè lo studio dei fenomeni che riguardano le popolazioni, su base statistica. La “R” fa riferimento alla riproduzione, mentre lo “0” alla generazione zero, cioè quella da cui si fa partire uno studio demografico per valutare le evoluzioni in una popolazione, generazione dopo generazione.

Che cosa indica R₀
In epidemiologia, R₀ esprime con un numero la quantità di individui che in media vengono contagiati da una persona con una malattia infettiva. Il dato è riferito a una popolazione totalmente esposta alla malattia, come avviene quando inizia a diffondersi un nuovo virus: in pratica la condizione in cui ci troviamo ora.

Se R₀ è 3, per esempio, significa che in media ogni infetto contagia 3 persone.

Se R₀ è 0,7, significa che ogni infetto contagia in media meno di 1 individuo (quindi 10 infetti ne contagiano complessivamente 7).

Da questo deriva che se R₀ è superiore a 1 un’epidemia continua a diffondersi tra la popolazione, e tende ad accelerare nella sua diffusione. Per esempio, con un R₀ di 1,5 un ipotetico gruppo di 1.000 persone contagerebbe 1.500 persone:

1,5 • 1.000 = 1.500

Queste 1.500 a loro volta causerebbero 2.250 contagi:

1,5 • 1.500 = 2.250

Proseguendo a questo ritmo si arriverebbe alla generazione successiva ad averne 3.375 e a quella dopo ancora ad averne oltre 5.000.

Con un R₀ inferiore a 1, invece, l’epidemia rallenta e comporta una diminuzione nei nuovi contagi. Sempre immaginando 1.000 persone contagiose, ma un R₀pari a 0,7, si otterrebbero alla generazione successiva 700 nuovi contagiati, quindi una quantità inferiore rispetto a quella della generazione precedente, e così via.

Come si calcola R₀
Gli epidemiologi tengono in considerazione diversi parametri per calcolare R₀. Comprendono nelle loro stime le caratteristiche della malattia, come la sua contagiosità, e le condizioni e le abitudini della popolazione in cui questa si diffonde.

È però importante ricordare che R₀ è una stima e che, come tutte le stime in statistica, presenta diverse imperfezioni. Non c’è un modo univoco di calcolarlo e quasi sempre viene associato a un intervallo “di confidenza”, entro il quale oscilla. Per praticità gli esperti, e spesso i giornali, citano solamente il valore mediano, senza specificare l’intero intervallo. Un R₀ definito 0,7, per esempio, potrebbe muoversi in un intervallo tra 0,5 e 0,9.

R₀ non è sempre uguale
Ogni malattia determina R₀ diversi, così come diverse aree geografiche e diverse popolazioni determinano R₀ differenti tra loro per la stessa malattia. In linea di massima, per il coronavirus si è calcolato che senza contromisure il numero di riproduzione di base sia intorno a 2,5. È un valore piuttosto alto se confrontato con quello di altre malattie infettive, ma è comunque da considerasi come un’indicazione di massima, che può cambiare sensibilmente nel tempo e nello spazio.

Tempo
Il numero di riproduzione di base viene quasi sempre messo in relazione con il tempo, perché di per sé il singolo dato numerico non offre grandi prospettive sull’evoluzione di un’epidemia. L’intervallo temporale del contagio tra una generazione di contagiati e una di nuovi contagiati è importante per comprendere la velocità con cui una malattia aumenta la propria presenza, sempre in una popolazione esposta. Il tempo medio per la COVID-19 è calcolato intorno ai 4 giorni, quasi doppio rispetto a quello della SARS, altra malattia infettiva causata da un coronavirus simile all’attuale.

Spesso viene usato il termine R₀ anche se si fa riferimento a R_t, che indica il numero di riproduzione di base in un dato momento. Semplificando, possiamo dire che R₀ indica il “potenziale” massimo di una malattia, mentre R_t lo stato attuale a seconda delle misure assunte per tenerlo entro limiti accettabili.

Perché viene citato spesso
Come abbiamo visto negli ultimi due mesi, tenere accuratamente traccia dell’andamento di un’epidemia è estremamente difficile: i malati scoperti tramite test sono solo una porzione di tutte le persone infette, che a loro volta potrebbero poi contagiarne altre. Se il modello statistico costruito per determinare R₀ è ben strutturato, si possono ottenere informazioni affidabili (per quanto di massima) non solo sull’andamento dei contagi in un dato momento, ma sulla loro evoluzione nel corso del tempo.

L’analisi di quanto varia R₀ man mano che si applicano particolari misure, come quelle restrittive o un aumento dei test per isolare prima i casi positivi, può fornire indicazioni preziose sull’efficacia dei provvedimenti assunti. Può inoltre essere un valido indicatore per stabilire se reintrodurre nuove restrizioni, nel caso in cui R₀ torni ad aumentare, e di conseguenza il rischio di avere più malati e quindi più casi gravi che renderanno necessari ricoveri in ospedale, mettendo sotto stress i sistemi sanitari.

Gestione di R₀
In Italia R₀ negli ultimi giorni si è attestato intorno a 0,8 (in alcuni giorni ha assunto valori ancora più bassi), ma con sensibili differenze tra regione e regione. L’Istituto Superiore di Sanità si occupa di aggiornare periodicamente il dato, che viene poi preso in considerazione dal governo insieme ad altri parametri per decidere le politiche da assumere nel nostro paese, come l’allentamento delle restrizioni e la riapertura di alcune attività industriali e commerciali.

In questa fase della pandemia appare improbabile che nei paesi con restrizioni attive si possa mantenere un R₀ al di sotto di 1 nel momento in cui saranno attenuate le limitazioni. Secondo diversi esperti, lo scenario più plausibile per molti paesi potrebbe implicare mantenere R₀ di poco sopra 1 a patto che i loro sistemi sanitari possano reggere un carico maggiore di pazienti, senza esserne sopraffatti. Il risultato potrebbe essere raggiunto con periodi intermittenti di lockdown, in modo da consentire un mantenimento delle attività lavorative e non gravare troppo sulle economie nazionali.